Anthropic 表示，其 Claude AI 剛寫出了有史以來最長的數學證明，並用它來正式證明了費馬大定理——這個困擾數學家長達 358 年的難題。

Claude 在 11 天內，大部分時間獨立完成這項工作，產生了 1300 萬行的程式碼，這些程式碼可以由電腦逐行檢查，而非僅僅依賴數學家的說詞。

費馬大定理指出，不可能找到三個正整數，將它們各自提升到大於 2 的冪次，使得前兩個數之和等於第三個數。他於 1637 年在數學書的空白處寫下這項主張，並補充說他有一個「確實了不起的證明」，但書的空白處太小無法寫下。

隨後他便去世了。數學家們花了接下來的 358 年試圖重建他自認為擁有的那個證明。

證明與驗證是兩回事

一個數學證明是一連串邏輯步驟的鏈條，如果其中一環斷裂，整個證明就會崩潰。在數百頁密集的論證中找到那個斷裂的環節，可能要花費其他數學家數年的時間。

將證明形式化意味著將其翻譯成一種極其精確的語言，使得電腦可以獨立驗證每個步驟，而不會帶有任何主觀性。

數學家們長期以來在這方面做得不夠好。1908 年，德國設立了一項獎金（按現今價值約 100 萬至 200 萬美元），旨在獎勵第一個有效證明該定理的人，結果僅在第一年就收到了 621 份錯誤的提交。

真正的證明直到 1995 年才由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）提出，而且還有個戲劇性的轉折。懷爾斯在 1993 年 6 月的三場演講中宣布了他的解決方案，但後來卻被一位審稿人發現了漏洞。

他與前學生理查德·泰勒（Richard Taylor）花了將近一年的時間修復，幾乎放棄，最終於 1995 年 5 月發表了一份修正後的 129 頁證明。該證明依賴於費馬生前不存在的數學知識，這也是數學家們現在懷疑費馬自己那個「了不起的證明」是否真的有效的主要原因。

倫敦帝國學院的數學家 Kevin Buzzard 於 2024 年啟動了一個專案，目的正是 Claude 剛剛完成的工作：將懷爾斯的證明翻譯成 Lean，一種電腦可以檢查的語言。這項工作需要一支志願數學家大軍——該專案的綱要就有 86 頁，其資金已確定會持續到 2029 年。

Claude 在 11 天內就完成了所有工作。

Claude 是如何做到的？

Anthropic 在一篇更深入的貼文中解釋，在哥倫比亞大學與團隊一起開發 AI 形式化工具的彭天翼（Tianyi Peng）決定看看 Claude 能獨立完成到什麼程度。數十個 Claude 代理並行工作，撰寫定義、證明小結果，並將這些小結果堆疊成更大的成果，幾乎沒有人類輸入，除了偶爾像「優先處理下一個定理」這樣的提示。

起初進展並不順利。早期，這些代理程式不斷忘記自己已經證明了什麼，並停止協作，這些錯誤的開始仍然佔最終證明中約 7% 的行數。

解決這個問題的是一個名為 Prove2Me 的工具，同樣由彭的團隊開發，它為每個代理程式提供了相同的即時待辦清單，列出了哪些較小的證明仍需完成，這樣就沒有人會重複工作或偏離方向。它還組織了文件，使 Lean 可以更快地檢查所有內容，並為每個結果保留了純英文筆記，以便代理程式可以重複使用彼此的工作，而不是重新發明。

到完成時，Claude 已經證明了超過 3 萬個輔助定理，並消耗了數十億個 token，運行在 Anthropic 稱之為大致與其後來向公眾發布的 Claude Fable 5.1 版本相當的研究模型上。完成的證明長達 1300 萬行——是數學家們已經用於此類工作的共享函式庫 Mathlib 大小的五倍多。

一部典型的小說約有 8 萬字。Claude 的證明相當於 160 部純邏輯論證的小說。

那麼，這真的重要嗎？

Buzzard——他自己版本的此專案仍獲得資助直到 2029 年——審查了 Claude 的證明並表示認可，稱其「除了數學公理之外沒有任何假設」地證明了該定理。

這與 Claude 發現全新的數學不同，Anthropic 今年早些時候在加密學研究中也曾聲稱這一點。懷爾斯早在三十年前就證明了費馬大定理——Claude 只是為其建立了一個可由機器檢查的驗證記錄。這很重要，因為數學家們正日益被未經驗證的證明（包括 AI 編寫的證明）淹沒，其速度比人類手動檢查的速度還要快。

此外，這些類型的證明是確定性的，不易出現人為錯誤，這在數學中非常重要。

這並不是一個新問題。開普勒猜想的電腦輔助證明花了四年時間，審查小組才願意承諾「99% 確定」，而格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman）對龐加萊猜想的證明也花了差不多的時間才被完全理解。

如果您不想相信 Anthropic 的任何說法，您也無需如此。完整的 1300 萬行證明目前已放在 GitHub 上，任何有足夠空閒時間的數學家都可以免費逐行拆解檢視。